Matemáticas 2: Módulo 2: Integración

2.1 Antiderivada

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

2.2 Integración indefinida.

Integral indefinida

Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una función la integral indefinida de la función. Escribimos la integral indefinida de la función f como

F(x) dx

y la leemos como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto,

F(x) dx es un conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número. La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.

Ejemplos

2x dx = x² + C

La integLa integral indefinida de 2x respecto a x es x² + C

4x³ dx = x⁴ + C

La integLa integral indefinida de 4x³ respecto a x es x⁴ + C

2.2.1 Integración en condiciones iniciales.

Hemos dicho que la ecuación y =∫f(x) dx admite infinitas soluciones que difieren en una constante. Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones verticales una de la otra.

Por ejemplo, en la figura de la izquierda mostramos varias gráficas de primitivas de la forma:

y = ∫ (3x2 − 1) dx = x3 − x + C

(Solución general) para diversos valores enteros de C. Cada una de esas primitivas es una solución de la ecuación

dy = 3x2 − 1

Una solución particular de esta ecuación será una única primitiva, es decir, conocemos el valor de la constante C.

En muchas aplicaciones de la integración, hay información suficiente como para conocer este valor particular de C. Esta información se llama condición inicial (que abreviamos como c.i.), nombre debido al hecho que en las aplicaciones, generalmente la variable independiente es el tiempo t.

Por ejemplo, en el caso anterior, una c.i. sería que la curva debe pasar por el punto (2, 4). Para hallar esta curva en particular, usamos la información:

F(x) = x3 – x +C (solución general) F(2) = 4 (condición inicial)

2.3 Fórmulas básicas de integración.

TIPO	FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
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2.3.1 Integral indefinida de una constante.

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

2.3.2 Integral de una constante por una variable.

2.3.3 Integral de
2.3.5 Integral de una costante por una función x.

2.3.6 Integral de una suma (diferencia) de funciones.

[f(x) ± g(x)] dx

f(x) dx

g(x) dx

En palabras:

La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales.

Regla de múltiples constantes:

kf(x) dx

f(x) dx

(k constante)

En palabras:

Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo".

¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.

2.3.7 Regla de la potencia.

La regla de la potencia de la integración te da la solución general para la integral de cualquier variable elevada a cualquier potencia excepto -1, lo que representa un caso especial. Ya que las integrales son primitivas, en otras palabras, si integras la derivada de una función, terminas con la función original, piensa en la regla de la potencia de la integración como hacer lo contrario de lo que hace la regla de la potencia para los derivados.

Convierte las raíces cuadradas, raíces de otras potencias y potencias en los denominadores a las funciones de potencia estándar. La raíz cuadrada de x es igual a x ^ (1/2), la raíz cúbica de x es igual a x ^ (1/3) y así sucesivamente para las otras raíces. Para mover una potencia del denominador al numerador, toma la inversa de la potencia: 1 / x ^ 2 = x ^ -2, por ejemplo.

Agrega uno al poder. Para int [(x ^ 3) dx], por ejemplo, x ^ 3 se convierte en x ^ 4.

Divide el resultado entre el nuevo poder. Por ejemplo, x ^ 4 se convierte en (x ^ 4) / 4