3.1 Área de bajo de la curva.
Dada una función f(x)
y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área
limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales
x = a y x =b.
La integral
definida se representa por:
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la
integración.
b límite superior de la
integración.
f(x) es el integrando o
función a integrar.
dx es diferencial de x,
e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Función integral
Sea f(t) una función
continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función
se define la función integral:
que
depende del límite superior de integración.
Para
evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t,
pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.
Geométricamente
la función integral, F(x), representa el área del
recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y
t = x.
A
la función integral, F(x), también se le llama función de
áreas de f en el intervalo [a, b].
3.2 Teorema fundamental del cálculo.
El teorema
fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de
la función continua f(x) es la propia f(x).
F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que
la derivación y la integración son operaciones inversas.
Al integrar una función continua y luego derivarla
se recupera la función original.
3.3 Propiedades de la integral definida.
1. El valor de la integral
definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración
coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del
intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma
de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de
una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una
constante por una función es igual a la constante por la integral de la
función.
3.4 Área entre una
y dos curvas.
El área comprendida
entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos
el área de la función que está situada por debajo.
Ejemplos:
1. Calcular el área del recinto limitado por la
parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0)
y (1, 4).
3.5
Aplicaciones: Excedente del consumidor y
del productor, valor presente, y valor futuro.
Conclusión: Es importante verificar la ley de los signos para que el resultado sea congruente.
Bibliografía:
muy bien echo su blog compañera :) muy buena información y muy bien redactado, :D
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